La crescita dei morti per COVID19

Quando ho iniziato a guardare i dati del COVID19 ho notato subito che il rapporto morti/infetti tendeva ad aumentare col tempo. Inizialmente ho attribuito questo comportamento alla mutevole capacità di diagnosi, poi, quando il trend si è manifestato in modo evidente, ho pensato che si trattasse di un sintomo di stress delle strutture sanitarie che non riuscivano a trattare adeguatamente in pazienti.

Un’analisi piú attenta, però, mostra che in realtà questo è proprio l’andamento atteso. Vediamo perché.

Indichiamo con f(t) la funzione che rappresenta l’evoluzione temporale degli infetti N_{inf}(t) = f(t). I morti per COVID19 saranno, mediamente, una frazione di N_{inf}, quindi potremmo scrivere N_{morti} = \alpha N_{inf} con \alpha < 1 grosso modo costante. Non possiamo però scrivere che N_{morti} = \alpha f(t) perché si comincia a morire trascorsi alcuni giorni dal momento in cui si contrae l’infezione. Quindi avremo che

N_{morti} = \alpha f\left(t-t_0\right)

pertanto il rapporto morti/infetti si scrive

\frac{N_{morti}}{N_{inf}} = \alpha \frac{f\left(t-t_0\right)}{f(t)}

Non conosciamo la funzione f(t) (anche se dagli ultimi dati disponibili sembra ben rappresentata da una funzione di Gompertz). Possiamo però fare considerazioni del tutto generali.

Di una funzione possiamo disegnarne il grafico riportando su un sistema di assi cartesiani i valori della funzione f(t) in funzione della variabile da cui dipende t. Per esempio, se f(t)=\sqrt{t}, possiamo calcolare i valori di f(0),\,f(1),\,f(2)\,f(3),\ldots e riportarli su un grafico in funzione di t=0,\,1,\,2,\,3,\ldots. Questi valori sono 0,\,1,\,1.41,\,1.73,\ldots e il grafico appare cosí

Ogni funzione con caratteristiche molto generali come quelle che ci interessano si può approssimare, in un intervallo relativamente ristretto di valori, con un polinomio p(t) di grado opportuno, cioè f(t)\simeq p(t). Minore è l’ampiezza dell’intervallo e migliore è l’approssimazione, cosí come maggiore è il grado del polinomio, a parità di ampiezza dell’intervallo, migliore è l’approssimazione. In sostanza possiamo sempre scrivere che

f(t)\simeq f(t_0)+f'(t_0)(t-t_0)+\frac{f''(t_0)}{2}(t-t_0)^2+\cdots

dove f'(t_0) e f''(t_0) sono quelle che i matematici chiamano derivate della funzione. La derivata f'(t) di una funzione si può immaginare come la pendenza della retta tangente alla sua rappresentazione grafica nel punto indicato tra parentesi. La derivata seconda f''(t) è, a sua volta, la pendenza della tangente alla curva che rappresenta f'(t) e cosí via. Nella figura sotto riportiamo la curva f(t)=\sqrt{t} insieme ai primi tre polinomi che l’approssimano per t=1.

Il primo è rappresentato dalla retta viola, che è una costante che vale 1. L’approssimazione è buona solo per valori vicini a t=1. La retta verde è il polinomio di grado 1 che approssima bene al curva in un intervallo piú ampio, ma che già per t=2 comincia a distinguersi bene dalla curva originale. Il polinomio di grado 2 (la curva azzurra) rappresenta meglio la curva originale (fino a circa t=3 con la precisione che raggiunge il polinomio di grado 1 per t=2).

Tornando alla nostra f(t) possiamo sempre scrivere quindi che

f(t) \simeq f(t_0)+f'(t_0)(t-t_0)+\frac{f''(t_0)}{2}(t-t_0)^2

La curva dei morti, quindi, si rappresenta sostituendo al posto di t, t-t_0 nei coefficienti del polinomio. Abbiamo quindi

f(t-t_0) \simeq f(t_0-t_0)+f'(t_0-t_0)(t-t_0)+\frac{f''(t_0-t_0)}{2}(t-t_0)^2= f(0)+f'(0)(t-t_0)+\frac{f''(0)}{2}(t-t_0)^2

Poiché all’inizio il numero d’infetti è zero, prendendo per t=0 l’inizio dell’epidemia f(0)=0. Inoltre, la salita degli infetti inizia in maniera dolce, quasi piatta, e la retta tangente alla curva che rappresenta f(t) è quasi orizzontale per cui anche f'(0)\simeq 0 e di conseguenza

\frac{N_{morti}}{N_{inf}}=\frac{\alpha f(t-t_0)}{f(t)}\simeq \alpha\frac{f''(0)}{2}(t-t_0)^2\frac{2}{f''(0)t^2} = \alpha\left(\frac{t-t_0}{t}\right)^2

Questa curva, per \alpha = 1 e t_0=5 è fatta cosí

La curva rappresenta la frazione dei morti in funzione del tempo solo per t>t_0 (nel caso dell’immagine per t>5) e si vede bene che in effetti cresce come sembra crescere tale rapporto nella realtà. Per tempi molto lunghi la curva tende asintoticamente ad \alpha (si avvicina cioè sempre piú a questo valore).

Usando tecniche di minimizzazione possiamo trovare i valori da attribuire ai parametri \alpha e t_0 per descrivere i dati sperimentali del rapporto morti/infetti. Riportiamo sotto il grafico che se ne ottiene.

La banda rosa rappresenta la porzione di dati utilizzati per eseguire il calcolo che fornisce \alpha = 0.126 \pm 0.013 e t_0=5.8 \pm 2.8. Il secondo valore ci dice con quanti giorni di ritardo, in media, si muore, dopo aver contratto l’infezione. Il numero è compatibile con t_0\simeq 5 che forniscono i medici.

La mortalità asintotica \alpha di quasi il 13% ci dice che il virus è letale nel 13% dei casi. Ma attenzione. Questo numero dipende fortemente da quanto bravi siamo a individuare gli infetti. Ci sono evidenze che i morti siano decisamente sottostimati. Figuriamoci gli infetti.

Personalmente tendo a credere di piú ai dati raccolti a bordo della Diamond Princess, tutti i passeggeri della quale sono stati sottoposti a tampone. Di questi 712 sono stati trovati positivi e solo 10 sono morti. La mortalità del virus quindi dev’essere dell’ordine dell’1.4% (10/712). Il fatto che la mortalità italiana appaia dieci volte superiore presumibilmente significa che gli infetti sono sottostimati almeno dello stesso fattore. Un fattore 10 di differenza tra gli infetti reali e quelli ufficiali, in effetti, è un numero che comincia a circolare e sembra sempre piú realistico. Se cosí fosse, per ogni malato ufficiale ce ne sarebbero una decina che non sanno di esserlo e sono quindi veicolo di contagio. Questa è una buona ragione per mantenere il lockdown, che tuttavia occorrerà prima o poi quanto meno allentare perché la situazione economica sta diventando insostenibile per molti. Da questo punto di vista il tracciamento dei contatti di chi si scopre infetto sarà uno strumento utilissimo.

Per finire osservo che il fatto che il rapporto sia affetto da errori sistematici notevoli si vede anche dal fatto che in corrispondenza della fine dell’intervallo di fit si vede un “salto” del rapporto, che non dovrebbe esserci in condizioni normali. È utile sapere che l’intervallo non è stato scelto ad hoc. Per determinarlo ho trovato il punto in cui il rapporto N_{morti}/N_{inf} si è ridotto della metà partendo da destra e poi definendo un intervallo di 24 giorni che inizia una settimana prima di questo punto, in modo da essere vicini al punto di flesso della curva che è quello in cui ho fatto l’approssimazione.

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo di WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione /  Modifica )

Google photo

Stai commentando usando il tuo account Google. Chiudi sessione /  Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione /  Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione /  Modifica )

Connessione a %s...