La distribuzione di Fermi-Dirac

Enrico Fermi divenne famoso, nella comunità dei fisici del tempo, per aver pubblicato, nel 1926, un articolo nel quale calcolava la distribuzione in energia delle particelle identiche con spin semintero. Nello stesso anno, ma poco più tardi, anche Paul Dirac arrivò indipendentemente allo stesso risultato e per questo la distribuzione si chiama oggi di Fermi-Dirac.

Gli elettroni, i neutroni e i protoni di cui è fatta la materia che conosciamo, sono particelle con spin semintero, cioè particelle con un momento angolare intrinseco pari alla metà di un numero intero (nella fattispecie pari a 1/2).

Il momento angolare intrinseco (o spin) è spesso descritto, in analogia col momento angolare classico, come una misura della velocità di rotazione di una particella attorno al proprio asse. Ma questa immagine è completamente fuorviante. Non esiste un analogo classico dello spin. Le particelle sono puntiformi e di certo non ruotano attorno ad alcun asse. Molto meglio pensare a questa grandezza come a qualcosa che è possibile misurare per queste particelle, in modo che si possano etichettare con il valore +1/2 o -1/2, che ne determina, insieme ad altre grandezze, lo stato. Le particelle di questo tipo sono collettivamente chiamate “fermioni” e si comportano in modo da rispettare il Principio di Pauli: due fermioni non possono stare nello stesso stato.

Classicamente, lo stato è la condizione nella quale si trova il sistema in esame. Per esempio: lo stato cinematico di una pallina è noto quando ne conosciamo posizione e velocità. Conoscere lo stato di qualcosa permette di prevederne l’evoluzione se si conoscono le interazioni cui va incontro. Sapere posizione e velocità di una pallina ci permette di prevederne posizione e velocità in ogni istante, se conosciamo le forze che agiscono su di essa.

Quantisticamente, lo stato di un elettrone non può essere determinato dalle stesse quantità, perché in meccanica quantistica posizione e velocità sono due grandezze prive di senso. Energia e momento angolare, invece, sono grandezze che caratterizzano perfettamente il modo di essere di un elettrone in un atomo e sono dunque buone variabili di stato. La loro conoscenza ci permette di prevedere il loro stato futuro in seguito a un’interazione.

Anche se in linea di principio la meccanica classica non lo proibisce, è un fatto evidente a tutti che due palline non possono stare nello stesso stato. Se in una posizione c’è una pallina, l’altra può stare in una posizione molto simile, ma non sarà nello stesso identico stato. Allo stesso modo, due elettroni in un atomo non possono condividere lo stesso stato. Per la meccanica quantistica possono occupare il medesimo volume, ma non possono avere la stessa energia.

L’articolo di Fermi permette di prevedere come si distribuisce l’energia degli elettroni in un atomo o in sistemi più complessi come i cristalli. Per capire come funziona immaginiamo di prendere il nucleo di un atomo e di avvicinare un elettrone alla volta a questo nucleo. Il primo elettrone si dispone in modo da minimizzare la sua energia. Un secondo elettrone, per il Principio di Pauli, non può assumere la stessa energia. Di conseguenza si dispone in modo da avere un’energia leggermente più grande. Lo stesso fa il terzo elettrone, la cui energia sarà maggiore di quella del secondo, e così via.

È un po’ quel che succede quando si inserisce una serie di biglie in un vaso lungo e stretto, il cui diametro è appena sufficiente per contenere una pallina. La prima pallina a esservi introdotta assume la minima energia possibile piazzandosi sul fondo del vaso. La seconda, non potendo questa assumere lo stesso stato, si dispone sopra la prima, a una posizione corrispondente a un’altezza maggiore. Una terza pallina si dispone sopra la seconda, e così via.

Se si fa un grafico della probabilità di trovare una pallina a una certa quota si trova quella che si chiama una distribuzione uniforme: la probabilità è la stessa per tutte le palline fino alla quota dell’ultima pallina, dopo di che è nulla.

Un tubo di palline da tennis parzialmente riempito rappresenta un sistema in cui ogni pallina si trova in un diverso stato. La probabilità P(h) di trovare una pallina alla quota h è costante per hhM e zero per h maggiori.

Allo stesso modo la probabilità di trovare un elettrone in uno stato di energia E in un atomo o in un cristallo è costante per le energie minori o uguali a quella assunta dall’elettrone di energia massima e nulla per energie maggiori. La distribuzione di energia appare così: a temperatura T0 nulla, la distribuzione ha forma rettangolare, come quella delle palline sopra.

5 Fermi-Dirac distribution function at different temperatures: T3>... |  Download Scientific Diagram

Al crescere della temperatura però la distribuzione cambia forma e diventa più dolce e smussata in prossimità dell’energia EF detta Energia di Fermi. Questo significa che la probabilità di trovare un elettrone in uno stato di energia molto basso continua a essere pari a 1 o quasi. Man mano che l’energia cresce, la probabilità di trovare un elettrone nel cristallo con quell’energia diminuisce, ma aumenta la probabilità di trovare elettroni con energia maggiore di quella di Fermi. Più è alta la temperatura e maggiore è questa probabilità.

Immaginate ora di prendere il tubo delle palline da tennis che abbiamo visto sopra e di scuoterlo. In sostanza non state facendo altro che fornire energia dall’esterno, che è la stessa cosa che fate quando scaldate un materiale e lo portate a una temperatura maggiore.

Le palline più in alto cominceranno a saltare raggiungendo quote più alte. Lo faranno anche quelle immediatamente sotto, ma queste non potranno saltare oltre quelle che stanno sopra di esse. Quelle più in fondo, invece, non riusciranno proprio a muoversi, a meno che non forniate talmente tanta energia al tubo (lo portiate a una temperatura estremamente alta) da farle saltare tutte.

La distribuzione di probabilità di trovare le palline a certe quote sarà del tutto simile a quella di Fermi.

Conoscere la distribuzione di Fermi è fondamentale nella scienza dei materiali. È grazie alla sua conoscenza che possiamo sapere come funzionano (e di conseguenza, progettare) diodi e transistor, senza i quali l’elettronica come la conosciamo oggi non esisterebbe.

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