didattica, outreach

Il concetto di flusso: un esperimento

Il flusso di un campo vettoriale è definito come il vettore campo moltiplicato scalarmente per un vettore perpendicolare alla superficie rispetto alla quale si calcola. Il prodotto scalare, come noto, si calcola sommando i prodotti delle componenti omologhe dei due vettori. Per esempio, il prodotto scalare dei vettori A=(a, b, c) e B=(x, y, z) è A•B=ax+by+cz, che è anche uguale ad ABcos(A,B), dove A e B rappresentano, rispettivamente, i moduli di A e B.

Per comprendere il significato del coseno nella definizione di flusso proponiamo qui un semplice esperimento da condurre usando un semplice smartphone, con la App phyphox. Gli esperimenti fatti con questo genere di strumenti, non solo permettono di comprendere più a fondo il significato fisico delle grandezze in gioco, ma anche di acquisire competenze e abilità ulteriori e sono quindi ideali per la formazione di coloro che, in un prossimo futuro, dovranno cercarsi un lavoro, possibilmente ben pagato e piacevole.

L’esperimento consiste nella misura del flusso della radiazione solare in funzione dell’angolo formato tra la direzione del Sole e la superficie irradiata che, in questo caso, è il sensore d’intensità luminosa del telefono. Poiché la radiazione solare diretta è molto intensa, il sensore va schermato opportunamente per ridurla a valori misurabili. Noi l’abbiamo fatto apponendo sul sensore quattro strati di scotch di carta, di quello usato dai carrozzieri o dagli imbianchini, che è robusto, non sporca e facile da togliere.

Per individuare la posizione del sensore si avvia lo strumento “Luce” (vedi screenshot a sinistra) su phyphox e si avvia l’esperimento osservando il grafico dell’illuminazione in funzione del tempo. Si passa quindi con il dito sulla superficie dello schermo fino a quando si nota una brusca diminuzione, corrispondente all’istante in cui si è coperto il sensore.

Si crea quindi un esperimento personalizzato, sfiorando il tasto con il + in basso a destra e si sceglie di aggiungere un “esperimento semplice”. Questo consiste nella contemporanea raccolta dei dati relativi a più sensori. Selezioniamo l’accelerometro (con g inclusa) e il sensore di luce. L’esperimento compare così nella nostra collezione. Avviandolo si noterà la presenza di due schede: quella relativa alle misure di accelerazione, che mostra il grafico delle tre componenti del vettore accelerazione in funzione del tempo, e quella relativa al sensore di luce, che mostra la luminanza, sempre in funzione del tempo.

Disponiamo il telefono coricato sul dorso, in una zona illuminata dal Sole, possibilmente allineandone il bordo più lungo (per semplicità d’interpretazione) con la direzione delle ombre, in modo tale che la direzione di provenienza dei raggi solari coincida con quella del disegno sotto riportato, cui facciamo riferimento per i simboli. Il telefono è rappresentato dal tratto blu spesso. La direzione z del sistema di riferimento del telefono, nel quale si fanno le misure, è perpendicolare allo schermo. Se il telefono è fermo, in queste condizioni, la componente z dell’accelerazione misurata è uguale a gcos(𝜃). L’angolo 𝜃 si misura così come l’arcocoseno del rapporto az/g.

Quando il telefono è poggiato sul dorso i raggi del Sole arrivano sulla sua superficie con inclinazione 𝜑, dove 𝜑 è l’elevazione del Sole, cioè l’angolo formato dal Sole con l’orizzonte. Quando la normale alla superficie del telefono sarà inclinata di un angolo 90-𝜑 (cioè quando 𝛼=0), rispetto all’orizzontale, i raggi del Sole arriveranno sullo schermo perpendicolarmente.

Avviamo dunque l'”esperimento semplice”, quando il telefono è in posizione coricata e, facendo in modo che non scivoli (noi l’abbiamo messo su un leggìo), solleviamone lentamente il bordo superiore in modo da cambiare gradualmente l’angolo. In questo modo il telefono misurerà l’accelerazione di gravità in ogni posizione, essendo l’accelerazione del telefono trascurabile (a proposito, è sempre diretta lungo l’asse y).

Le registrazioni dell’accelerazione in funzione del tempo ci permetteranno di ricavare l’angolo 𝜃 dal rapporto tra la componente z dell’accelerazione misurata e il modulo del vettore accelerazione.

Una volta salvati i dati in un foglio di calcolo possiamo quindi calcolare il modulo di g nelle varie posizioni. Naturalmente ci aspettiamo che questo sia costante e pari a 9.8 m/s2, ma le inevitabili fluttuazioni statistiche e possibili effetti sistematici potrebbero farci vedere qualcosa di diverso, ma non troppo distante dalle nostre attese. Per esempio questo è quanto abbiamo ottenuto noi.

L’accelerazione in funzione del tempo durante l’esperimento. La grande fluttuazione a destra corrisponde a un piccolo scivolamento del telefono durante la presa dati.

L’angolo 𝜃, in funzione del tempo, ricavato come sopra, è mostrato nella figura sotto, insieme con una curva in colore arancione, che è una curva del tipo Acos(𝜃). L’unica difficoltà, nel realizzare questo grafico, consiste nel fatto che la frequenza di campionamento dei dati non è identica per i due sensori: occorre quindi fare in modo di ridurre il numero di dati del sensore più rapido (nel nostro caso l’accelerometro) mediando le accelerazioni su più tempi, facendo in modo di ottenere un numero di accelerazioni uguale numero di misure d’intensità luminosa.

In effetti, il sensore d’intensità luminosa misura una quantità proporzionale al flusso della luce che lo attraversa (possiamo immaginare di rappresentare i raggi luminosi come vettori paralleli alla direzione di propagazione) ed ecco spiegato l’andamento sperimentale che è riprodotto perfettamente da una funzione tipo coseno. Lontano dal massimo la curva può non adattarsi bene ai dati perché sul sensore arriva anche la luce diffusa da tutte le direzioni, che in condizioni di massima illuminazione diretta è invece trascurabile.

La posizione del massimo corrisponde a poco meno di 60 gradi, il che, per quanto sopra, suggerisce che l’elevazione del Sole sia pari a 90-60=30 gradi. Possiamo verificarlo usando un qualunque servizio Internet che fornisca questi tipo di dati. Per esempio, al sito della NOAA Antarctic UV Monitoring Network basta passare le coordinate geografiche del luogo in cui si sono eseguite le misure (ottenibili dal telefono stesso usando phyphox o Google Maps), la data e l’ora della misura. Nel nostro caso la predizione era di un’elevazione pari a 27.12576 gradi.

Questo esperimento, molto semplice, si presta per numerosi scopi: illustrare le proprietà del flusso di un campo vettoriale, comprendere il funzionamento dei sensori, lavorare con i vettori e con i sistemi di riferimento, nonché per parlare di geografia astronomica, di matematica e di statistica.

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo di WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione /  Modifica )

Google photo

Stai commentando usando il tuo account Google. Chiudi sessione /  Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione /  Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione /  Modifica )

Connessione a %s...