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Come sembrare un genio

La relatività generale è una delle teorie tecnicamente più difficili, perché richiede conoscenze e abilità matematiche non comuni. Tuttavia, è possibile calcolare con buona precisione gli effetti relativistici indotti dalla curvatura dello spazio-tempo e persino ricavarne la formula con pochissimi, semplici, argomenti.

Sappiamo dalla relatività ristretta che in un sistema che si muove rispetto a uno fermo il tempo scorre più lentamente. Detto t il tempo trascorso a bordo del sistema in moto, il tempo trascorso per chi sta fermo è 𝛾t, con 𝛾>1. In altre parole, il tempo per chi si muove scorre più lentamente. Una dimostrazione lampante di questo fenomeno è il decadimento dei muoni. Queste particelle hanno una vita media, se prodotte in laboratorio, di circa 2 𝜇s: trascorso questo tempo, circa 1/3 delle particelle originali non esiste più. Si sono trasformate (sono decadute) in elettroni e neutrini. I muoni, però, sono naturalmente prodotti dai raggi cosmici a una quota di circa 10 km. Se viaggiassero alla velocità della luce c=3×108 m/s, in 2 𝜇s potrebbero percorrere non più di 600 m. Se percorrono 10 km significa che la loro vita deve durare (per noi che li vediamo muoversi) un po’ più di 30 𝜇s (10000/c): devono cioè avere un 𝛾 di circa 15.

Per la relatività generale, un campo gravitazionale è (localmente) indistinguibile da un sistema accelerato. In pratica, stare in un campo gravitazionale intenso è come trovarsi su un sistema fortemente accelerato, mentre in un campo debole l’accelerazione percepita è debole. Se in un sistema che si muove lo scorrere del tempo è alterato, lo stesso deve accadere in un sistema accelerato e dunque in un campo gravitazionale. Naturalmente, detto t il tempo trascorso a bordo del sistema immerso nel campo gravitazionale (equivalente al sistema in moto), il tempo visto da un osservatore fuori da questo campo sarà 𝛾t, dove 𝛾, questa volta, è un numero adimensionale (perché 𝛾t deve continuare ad avere le dimensioni fisiche di un tempo) che dipende dall’intensità del campo gravitazionale. Se questa è nulla 𝛾=1.

Possiamo allora scrivere che 𝛾=1+𝛿, in cui 𝛿 deve dipendere da una grandezza scalare che determina l’intensità del campo. Il potenziale gravitazionale V=GM/r è un buon candidato: G è la costante di Newton, M la massa della sorgente del campo e r la distanza da questa. Si tratta di una grandezza scalare che determina quanto è intenso il campo gravitazionale: maggiore è la massa che genera la gravità e più grande sarà 𝛿. Più siamo vicini alla sorgente e più lo spazio-tempo è curvo, cioè la gravità è intensa, e, di conseguenza, 𝛿 cresce avvicinandosi alla sorgente. Non possiamo però scrivere che 𝛿=GM/r, perché, per quanto detto sopra, 𝛿 dev’essere adimensionale, mentre GM/r non lo è.

È facile vedere che le dimensioni del potenziale gravitazionale sono quelle di una velocità al quadrato. Un numero proporzionale al potenziale, ma adimensionale, si può quindi costruire dividendo il potenziale per una velocità al quadrato. Ma quale? Ovvio: quella della luce, che è una costante universale. Così

è la correzione cercata. Un orologio sulla Terra marcia più lentamente di uno posto nello spazio profondo perché sulla Terra un secondo dura un fattore GM/(c2R) di più, dove R rappresenta il raggio del nostro pianeta. La conseguenza è che un orologio sulla ISS, che orbita a h=400 km di quota, marcia più rapidamente di quello a Terra perché la correzione relativistica è più piccola essendo GM/(c2(R+h)).

File:International Space Station after undocking of STS-132.jpg
La Stazione Spaziale Internazionale (ISS: International Space Station) orbita a circa 400 km di quota a una velocità di poco meno di 8 km/s.

I calcoli esatti, che si possono fare a partire dalle equazioni di Einstein, mostrano che il risultato è proprio quello trovato. L’unica differenza poteva essere in un fattore numerico davanti al potenziale, ma si dà il caso che questo fattore sia proprio uguale a 1. Forte, no?

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