Come si affronta un esercizio di fisica

Praticamente tutti i libri di esercizi di fisica che ho (gli editori me ne mandano ogni tanto in visione) sono tutti uguali: cambia solo l’insieme degli esercizi. Lo stesso esercizio, in effetti, si può vestire in modo diverso e dunque anche loro non sono poi così diversi: che so, in un esercizio di cinematica a muoversi può essere un treno, una pallina, una tartaruga, un’astronave, etc., ma fondamentalmente l’esercizio è lo stesso. Uno si aspetterebbe di trovarci qualche dritta per trovare la strategia risolutiva, ma non è così. Di solito i capitoli di questi libri si aprono con un richiamo alle formule fondamentali che riguardano il tema di fisica trattato e poi propongono una serie di esercizi, di complessità crescente, seguiti dalla loro soluzione che si presenta sempre in una forma molto chiara e netta, quasi naturale e ovvia. Le espressioni matematiche corrette sono individuate senza neanche discuterle, si manipolano un po’ algebricamente et voilà, la soluzione è servita. A leggerli sembra tutto molto semplice. A nessuno viene il sospetto che la soluzione di un esercizio di fisica richieda molto più tempo di quanto richiesto dalla lettura della sua soluzione. La strada verso la soluzione è quasi sempre impervia; prima di tutto bisogna individuare la strada maestra, perché spesso se ne aprono diverse davanti a nostri occhi. Poi occorre saper tornare indietro, se necessario, quando ci si rende conto di aver preso la strada sbagliata. È necessario fare il punto di tanto in tanto per capire se si sta andando nella giusta direzione e se non si sono commessi errori grossolani. Nella mia testa, un buon libro di esercizi non dovrebbe limitarsi a illustrare la soluzione; dovrebbe invece suggerire strategie, far vedere come e dove ci si può sbagliare; evidenziare i punti nei quali occorre prestare la massima attenzione, etc. Dovrebbe essere, insomma, più il racconto di un viaggio avventuroso che la placida cronaca di una passeggiata nel parco.

In questo post provo a delineare qualche elemento, tra quelli che ripeto, fino alla nausea, quando svolgo gli esercizi per gli studenti alla lavagna. Lo faccio in modo schematico, per brevità e comodità. Forse un giorno avrò anche la forza di preparare qualche risorsa da mettere a disposizione online: una raccolta di esercizi svolti come la intendo io oppure qualche video. Per ora, accontentatevi.

La prima fase: il testo

Il testo di un esercizio è sempre scritto in modo molto oculato. Questo è, in un certo senso, anche un limite degli esercizi perché nega allo studente di fare le sue proprie ipotesi sull’opportunità o meno di fare certe scelte, ma non voglio aggiungere troppa carne al fuoco, perciò analizziamo il caso tipico.

Ogni singola parola del testo ha un significato nell’economia dell’esercizio. Se però s’inizia subito a cercare di delineare la propria strategia risolutiva si rischia di perdere di vista il quadro generale.

Regola n. 1: leggete il testo dell’esercizio come se steste leggendo un articolo di cronaca su un giornale. Ignorate i dettagli. Non vi soffermate sui particolari. Fatevi un’immagine mentale di quanto descritto in termini molto generali.

In questo modo avrete un’idea abbastanza precisa della situazione descritta nell’esercizio.

Regola n. 2: leggete il testo una seconda volta, lentamente. Questa volta soffermatevi su ogni singola espressione del testo e cercate di capire se vi sono informazioni rilevanti (quasi sempre è così).

Per esempio, consideriamo il seguente esercizio (tratto dal libro di J. Walker e opportunamente modificato dal sottoscritto):

Un treno sta percorrendo in salita un pendio inclinato di 3.73° a una velocità di 11,7 km/h, quando l’ultimo vagone si stacca e inizia a procedere per inerzia senza attrito. [seguono le domande]

Le informazioni rilevanti e implicite sono: a) che il protagonista del problema non è il treno, ma l’ultimo vagone; b) che quest’ultimo è assimilabile a un punto materiale perché non se ne forniscono particolari sulla forma; c) che inizialmente si muove alla stessa velocità (in modulo, direzione e verso) del treno cui è attaccato; d) che a un certo punto viene a mancare il vincolo che lo tiene agganciato al treno e dunque si trova in regime di caduta libera (ma non dimentichiamo che la sua velocità iniziale è rivolta verso l’alto). Il testo menziona esplicitamente l’assenza di forze dissipative.

Regola n. 3: mentre leggete la seconda volta il testo, fate uno schema dei sistemi coinvolti nel problema e assegnate a ciascun dato un simbolo algebrico e attribuitegli il valore fornito dal problema. Fatelo in cima alla pagina e non scrivete nient’altro in questo spazio.

La seconda fase: lo schema e i dati

Nel caso dell’esempio dobbiamo disegnare un piano inclinato su cui disegneremo, in modo stilizzato, il vagone (non il treno, che non c’interessa, perché continuerà a muoversi di moto rettilineo uniforme, dunque il suo stato non cambia).

Sottoregola n. 3A: quando si disegna un piano inclinato (in generale quando si deve disegnare qualcosa che abbia la forma di un triangolo), lo si disegna sempre in modo che i due cateti del triangolo che lo rappresenta siano molto diversi l’uno dall’altro.

Questo aiuta nell’identificare gli angoli. Mediamente gli studenti tendono a disegnare il piano inclinato, e lo schema delle forze e delle relative componenti parallela e perpendicolare al piano, così

In questo modo c’è sempre il dubbio circa quale dei due possibili angoli evidenziati nel disegno sia uguale a θ. Disegnando il triangolo così,

invece, si vede subito che l’angolo è quello indicato.

Sottoregola n. 3B: se l’esercizio richiede di individuare un sistema di riferimento, sceglietene uno in cui uno degli assi è parallelo alla velocità iniziale o finale del sistema.

In tal modo si semplificano le equazioni del moto e, nei casi più fortunati, se ne possono eliminare anche due.

Regola n. 3C: quando scrivete il valore di un dato fornito dal problema, trasformatelo immediatamente nelle unità del SI. Magari non serve, ma male non fa e vi può salvare da errori grossolani dovuti a distrazione o fretta.

Nel caso dell’esempio scriveremmo v = 11,7 km/h = 3,25 m/s. Se la nostra calcolatrice è impostata per usare gli angoli in radianti, trasformiamo subito anche questa quantità: 3.73°=0.0651 rad. Qualora uno dei dati forniti dal problema sia un diametro, calcolate e scrivete subito il raggio corrispondente.

La terza fase: la scelta della strategia risolutiva

A questo punto viene la parte più difficile. Individuare la strategia risolutiva. Potete seguire i seguenti consigli.

Regola n. 4: individuate il tema tra quelli possibili cercando di identificare i capitoli del libro in cui si parla di situazioni analoghe.

Nel caso in esame si può pensare che i temi rilevanti siano quelli relativi alle Leggi di Newton, perché si parla del moto di qualcosa soggetto all’azione di una o più forze (la forza peso nell’esempio).

Regola n. 5: scrivete subito le leggi fisiche più importanti e generali sul tema che vi vengono in mente. Evidenziate quelle nelle quali compaiono le grandezze fisiche presenti nel testo o emerse dallo schema che avete disegnato.

In questo caso scriveremmo a=F/m, individuando in F la somma vettoriale della forza peso e della reazione vincolare del piano. Questa seconda forza ci deve venire in mente perché in sua assenza il corpo seguirebbe una traiettoria definita dalla direzione dell’unica forza presente (quella verticale). Questa è una relazione importante perché contiene l’espressione della forza che abbiamo disegnato nello schema. In questo caso non compare la velocità, che però si ricava sapendo che il moto sarà accelerato con accelerazione uniforme, pertanto v=v(0)+at.

Il problema prosegue con due domande:

a) Dopo quanto tempo il vagone si ferma temporaneamente?
b) Quale distanza percorre il vagone prima di fermarsi tempraneamente?

La prima domanda suggerisce che il vagone, a un certo istante, si deve fermare. Pertanto la sua velocità deve diventare nulla. Avendo scritto che v=v(0)+at si capisce che dobbiamo sfruttare questa relazione imponendo che v=0. Basterà individuare correttamente l’espressione di a che si ricava dalla relazione che abbiamo scritto che è a=F/m, essendo F, la componente della forza peso che agisce nella direzione del piano e che, guardando il disegno, è mg·sin(θ). La massa scompare così dalle equazioni, il che segnala che siamo sulla strada giusta perché non la conosciamo. Il risultato è un’equazione del tipo v(0)+g·sin(θ)t = 0 che si può facilmente risolvere in t.

La quarta fase: il calcolo dei valori delle soluzioni

Regola n. 6: sostituite i numeri ai simboli soltanto alla fine, quando sulla destra del segno = compaiono solo quantità il cui valore è noto.

Non trascurate, prima di passare a sostituire i numeri, di fare un controllo dimensionale. Se siete arrivati alla soluzione usando solo i simboli delle grandezze e non il loro valore questo si può fare, altrimenti risulta impossibile.

Regola n. 7: prima di sostituire i numeri nella soluzione controllatene le dimensioni fisiche. Se non sono corrette avete sicuramente sbagliato qualcosa.

Se, come nell’esempio, le dimensioni fisiche sono corrette, possiamo passare alla soluzione numerica. Se avete seguito la Regola 3C non avrete bisogno di indicare le unità di misura di ogni dato: saranno per forza coerenti ed espresse nello stesso sistema di unità di misura. Pertanto, anche il risultato sarà espresso nelle unità che nel SI si usano per esprimere la grandezza fisica in questione.

Regola n. 8: sostituite in numeri ai simboli, senza bisogno di indicare le unità di misura (se avete seguito la Regola 3C). Indicate le unità del risultato secondo quelle che spettano alla grandezza fisica in questione nello stesso sistema di unità.

Nel caso in esame il tempo sarà espresso in s.

Regola n. 9: approssimate il risultato, se necessario, usando un numero di cifre significative coerente con quello con il quale sono forniti i dati del problema

Le velocità, per esempio, sono date con tre cifre, come gli angoli: il risultato si scrive dunque usando tre cifre.

La distanza percorsa dal vagone si può calcolare ricordando l’espressione del moto uniformemente accelerato. In effetti, in questo caso, il vagone si muove con velocità iniziale, ma soggetto a un’accelerazione costante diretta in verso opposto.

Bonus track: qualche altro consiglio

Regola n. 10: quando il problema si presenta in modo da descrivere uno stato iniziale e uno finale, dovrebbe subito venirvi in mente di usare il principio di conservazione dell’energia.

Nel caso della prima domanda questo non era possibile perché il problema menzionava esplicitamente un tempo. In questo caso l’energia non aiuta. Nel caso della seconda domanda però sappiamo che inizialmente il vagone si muove a velocità v ed è a una certa quota. Nello stato finale, invece, è a una quota più elevata, ma la sua velocità è nulla. Quindi possiamo scrivere che l’energia iniziale è interamente cinetica, assegnando alla sua energia potenziale gravitazionale il valore nullo: Emv2. Nello stato finale l’energia è tutta potenziale e E=mgh. Dovendo essere uguali avremo che h=v2/2g. Chiaramente, h è la differenza di quota e quindi è uguale allo spazio percorso lungo il piano inclinato (l’ipotenusa del triangolo) per il seno dell’angolo. Troveremo così la risposta alla domanda.

Sfruttando la conservazione dell’energia si deve sempre risolvere soltanto un’equazione di primo grado molto semplice. Al contrario, nel caso in cui si utilizzasse la legge del moto si deve risolvere (almeno) un’equazione di secondo grado, che può anche essere relativamente complicata e può quindi portare facilmente a errori.

Se dunque potete chiaramente individuare lo stato iniziale e quello finale, non dovrebbe neanche venirvi in mente di usare una soluzione diversa. Questo è vero in qualunque situazione: non solo nel caso della dinamica del punto materiale, ma in generale in tutti i problemi di fisica.

Regola n. 11: Valutate sempre se il risultato numerico ottenuto è ragionevole. Se non lo fosse, ricontrollate i conti.

Nel nostro caso il tempo necessario al vagone per fermarsi prima di scivolare giù dal piano inclinato è di poco più di 5 s. Se avessimo ottenuto 5 ms oppure 510 s ci saremmo dovuti preoccupare perché un tempo troppo piccolo o troppo lungo è in contrasto con la nostra esperienza. Se i dati del problema appaiono ragionevoli, devono esserlo anche le soluzioni.

Post scriptum

Quelle indicate sotto sono le “regole” che abbiamo individuato nel corso delle esercitazioni svolte in classe, aggiunte in un secondo momento a questo post.

Regola n. 12: quando in un esercizio si dice che una qualche azione è svolta lentamente, s’intende che in ogni fase dell’azione descritta il sistema è da considerarsi in equilibrio.

Nel caso di un esercizio in cui siano presenti molee, ad esempio, significa che istante per istante la molla, che viene allungata o compressa, si deve considerare ferma e perciò, se la si lascia andare, parte con velocità iniziale nulla. In un esercizio sulla fisica dei gas (che molti direbbero “di termodinamica”, ma la termodinamica è molto più di questo e si applica a qualsiasi sistema, incluse le molle), significa che la trasformazione cui va incontro il gas è reversibile (cioè, è una successione di stati di equilibrio per cui vale pV=nRT).

Regola n. 13: quando leggete che una superficie è liscia, significa che l’attrito si può trascurare. Viceversa, “superficie ruvida” si traduce con “ricordatevi di includere le forze d’attrito”.

Questa regola è così semplice da non richiedere commenti, direi.