La bellezza salverà la fisica

Parafrasando la celebre massima di Dostoevskij (o forse, meglio, del suo “idiota”), in questo post discutiamo il ruolo della bellezza delle equazioni della fisica.


Sì, lo so. Non tutte le leggi della fisica sono belle e molti lettori potrebbero non essere d’accordo con una tale affermazione. Tuttavia, dubito che la maggior parte di coloro che mi seguono abbiano da ridire su questo, perciò assumerò che praticamente tutti la pensino così: le equazioni della fisica sono indubbiamente molto belle. Non è un caso che artisti come Andrea Galvani ne abbiano fatto uno strumento della propria poetica.

Andrea Galvani © The Subtleties of Elevated Things_ARCOmadrid 2019.jpg
Andrea Galvani: la sottigliezza delle cose elevate

Molti scienziati, in effetti, credono in quello che io chiamo “l’argomento della bellezza”, che ha portato il premio Nobel Richard Feynman ad affermare che

Non importa quanto sia bella la tua ipotesi; non importa quanto sei intelligente, o come ti chiami. Se la tua teoria non va d’accordo con i dati sperimentali… è sbagliata“.

L’argomento della bellezza consiste nel credere che la Natura debba essere descritta da equazioni “belle”. Sono portato a credere che una tale convinzione si debba far risalire a un’intervista rilasciata da Paul Dirac a Thomas Kuhn e Eugene Wigner in cui uno dei fondatori della meccanica quantistica dice

[L’idea dello spin] è scaturita effettivamente solo grazie alle manipolazioni delle equazioni che stavo studiando; non stavo cercando di introdurre idee fisicamente plausibili. Gran parte del mio lavoro del resto consiste nel lavorare con le equazioni per vedere cosa se ne può ricavare. La seconda quantizzazione, per esempio, è nata così. Non credo che questo abbia senso per gli altri fisici; penso sia una mia peculiarità il fatto che mi piace lavorare con le equazioni, soltanto alla ricerca di relazioni matematiche interessanti che magari non hanno alcun significato fisico. Succede, però, che a volte ce l’hanno“.

Inoltre, in un articolo scritto nel 1982 [Pretty mathematics. Int J Theor Phys 21, 603-605 (1982)], Dirac ha scritto

Una delle caratteristiche fondamentali della natura sembra essere che le leggi fisiche fondamentali sono descritte in termini di una teoria matematica di grande bellezza e potenza. Potremmo forse descrivere la situazione dicendo che Dio è un matematico sopraffino, cui è piaciuto usare una matematica molto avanzata nella costruzione dell’universo. A me sembra che se si lavora allo scopo di perseguire la bellezza nelle proprie equazioni, con una buona intuizione, si è di sicuro sulla buona strada“.

In effetti, la bellezza emerge semplicemente perché la matematica è un linguaggio molto flessibile per il quale un matematico esperto può inventare nuove parole e nuove regole grammaticali, tali che ciò che appariva brutto in una lingua diventi bello in un’altra. Uno degli esempi più sorprendenti è l’insieme delle equazioni di Maxwell. Le si può vedere nella loro forma originale in molte edizioni digitalizzate del “Trattato” come questa (pagg. 259-262/515). Dubito che riuscirete a individuarle… infatti le equazioni di Maxwell sono state riformulate nella forma che usiamo oggi da Oliver Heaviside che ha usato un nuovo linguaggio con una nuova sintassi per riscriverle in una forma che sembra decisamente più bella.

La bellezza, tuttavia, in matematica non è fine a sé stessa e il suo perseguimento un ruolo ce l’ha eccome. Serve a far emergere più chiaramente il significato delle equazioni e a semplificare la derivazione di nuovi risultati dalle loro manipolazioni. Spesso, una forma più sintetica, getta molta più luce su un argomento rispetto a una forma più pletorica. Potremmo in effetti paragonare una bella equazione matematica a una poesia, mentre una forma più esplicita della stessa equazione si potrebbe paragonare alla prosa.

Considerate, per esempio, questo celebre passo:

Quel ramo del lago di Como, che volge a mezzogiorno, tra due catene non interrotte di monti, tutto a seni e a golfi, a seconda dello sporgere e del rientrare di quelli, vien, quasi a un tratto, a ristringersi, e a prender corso e figura di fiume, tra un promontorio a destra, e un’ampia costiera dall’altra parte; e il ponte, che ivi congiunge le due rive, par che renda ancor più sensibile all’occhio questa trasformazione, e segni il punto in cui il lago cessa, e l’Adda rincomincia, per ripigliar poi nome di lago dove le rive, allontanandosi di nuovo, lascian l’acqua distendersi e rallentarsi in nuovi golfi e in nuovi seni

Pare quasi di vederlo, il lago, con le sue montagne che vi si tuffano dentro disegnando una costa sinuosa e quasi sensuale. Ma confrontiamo questa sia pur magistrale scena con quella descritta da un haiku giapponese di Yosa Buson, un poeta del 1700:

Che luna! il ladro si ferma per cantare

In queste poche sillabe si vede molto più della luna: si vede in realtà tutta la scena, con il ladro nell’oscurità che guarda con ammirazione la luna; si vedono le stelle, la vegetazione, e tutto il resto. Ma non solo. Si possono perfino quasi sentire gli odori, udire gli animali notturni, percepire il freddo e l’umidità, la paura del ladro di essere scoperto.

Nella scienza, come nelle arti (un argomento simile si applica ai dipinti: vedi il quadro di Mark Rothko riportato sotto), la semplificazione consiste nella sottrazione di quanto non è necessario per trasmettere quanto più contenuto possibile. Il risultato di questo lavoro è spesso più complesso del prodotto iniziale, pur apparendo più chiaro e denso di significato. Di conseguenza, il risultato finale è più adatto a suggerire nuove interpretazioni e ulteriori sviluppi.

Mark Rothko’s no. 14: foto di Naotame Murayama su Flickr

Ecco perché le equazioni fisiche sono belle: spesso i fisici seguono inconsciamente questa regola, ma di fatto lo fanno. La capacità di apprezzare la bellezza è qualcosa che dovremmo insegnare a tutti i nostri studenti che non meritano di essere formati solo dal punto di vista puramente tecnico. Sogno (e forse quest’anno mi riuscirà) di poter integrare le mie lezioni di fisica con il punto di vista di un artista, mentre, dall’altro lato, studenti di arte visitano una galleria o un museo accompagnati da uno scienziato che fa loro da guida e interpreta, a suo modo, le opere esposte.

La seconda Legge di Newton

Del perché è sbagliato scriverla come F=ma

La maggior parte dei libri di testo riporta la seconda legge di Newton come F=ma (le lettere in grassetto rappresentano i vettori). In questo post sostengo che questo non è il modo corretto di scriverla.


La maggior parte degli studenti percepisce la fisica come una disciplina molto simile alla matematica. È colpa dei libri di testo che, infatti, insegnano la fisica nello stesso modo in cui insegnano la matematica: attraverso l’enunciazione di assiomi (le leggi fisiche), seguita da una serie di dimostrazioni di teoremi e manipolazioni matematiche. Le leggi fisiche appaiono come assiomi perché spesso non sono giustificate da alcuna evidenza sperimentale. Per la maggior parte di esse si dice che “si può dimostrare che…” o che “Newton osservò che…” o anche “Faraday scoprì che…”. Raramente c’è un’analisi dettagliata delle prove sperimentali che porta lo studioso a formulare le leggi fisiche e, per chi non è abituato a lavorare secondo il metodo scientifico, tali leggi appaiono tanto arbitrarie quanto ineludibili, come il Teorema di Pitagora.

In effetti, questa maniera d’insegnare la fisica viene da lontano. Lo stesso Newton introduce la seconda legge in un capitolo intitolato “Axiomata sive leges motus” (Assiomi o leggi del moto).

In realtà, le leggi fisiche non sono affatto equazioni, per lo meno per come le intende un matematico. In matematica un’equazione è un’affermazione sulla completa equivalenza tra i due membri. La quantità rappresentata a sinistra del segno uguale è (deve essere) uguale (esattamente uguale) a quella a destra del segno. Di conseguenza, si può manipolare l’equazione spostando pezzi da sinistra a destra e viceversa (il che corrisponde a sommare o sottrarre la stessa quantità su entrambi i lati) o scambiandoli tra il numeratore e il denominatore di una frazione (il che equivale a moltiplicare o dividere entrambi i membri per la stessa quantità), seguendo le ben note “regole” dell’algebra.

In matematica F=ma è completamente equivalente ad a=F/m o a m=F/a (d’ora in poi, senza perdita di generalità, passiamo a una versione unidimensionale della Legge di Newton).

Scritta in questo modo l’equazione dice che l’accelerazione di un corpo (a sinistra del segno uguale) si può calcolare come (dipende da) la forza F applicata divisa per la sua massa m. La forma F=ma, invece, si può leggere come se la forza F dipendesse dalla massa e dall’accelerazione del corpo, oppure, peggio, come se F fosse definita come il prodotto di m e a. Le due forme non sono dunque per niente equivalenti, in fisica. D’altra parte, matematicamente anche m=F/a è corretta, ma nessuno si azzarda a scrivere questa legge in questo modo.

Naturalmente, una volta stabilito che l’accelerazione di un corpo dipende dal rapporto tra queste due grandezze, il valore numerico dell’accelerazione, così come è stato ottenuto in seguito a una misura, dev’essere uguale all’intensità della forza, misurata con un dinamometro, divisa per la massa del corpo ottenuta con una bilancia. Interpretate come relazioni tra misure, F=ma e m=F/a sono entrambe perfettamente coerenti: rappresentano l’equivalenza tra i corrispondenti valori misurati.

Tuttavia, anche in questo caso occorre fare attenzione. Infatti, le misure sono sempre affette da incertezze, quindi l’equivalenza è valida solo in media. I numeri effettivamente ottenuti possono non essere uguali, tuttavia l’equazione resta valida. Quando si risolve un esercizio, gli studenti trovano sempre valori “esatti”. Se devono approssimare il risultato, lo fanno solo perché è spesso impossibile scriverlo con precisione. In realtà, i risultati sono approssimati per definizione. Al contrario, quando si fanno misurazioni nelle attività di laboratorio, gli studenti cercano affannosamente (anche con modi poco leciti) di ottenere esattamente le quantità previste: non perché non capiscano che le misure possono fluttuare, ma perché sono abituati a risolvere esercizi il cui risultato è corretto solo se corrisponde esattamente alla soluzione stampata sul libro.

Fondamenti di Fisica

È uscita la VI edizione del volume “Fondamenti di Fisica” di James Walker, edito da Pearson, curata da me.

Il volume è destinato all’insegnamento universitario della fisica nei corsi di scienze (per i corsi di laurea in fisica è troppo elementare).

La curatela di un volume scritto da altri è sempre un’operazione delicata, dato che ogni docente ha le sue preferenze su quale sia il miglior approccio a certi argomenti.

Nello svolgere questo compito mi sono imposto di mantenere fede all’impostazione data al testo dall’autore, anche laddove non ne condividessi del tutto l’approccio (del resto l’insieme dei libri di testo di cui condivido l’approccio è praticamente nullo). Del libro di Walker condivido l’impostazione generale, che si caratterizza per un’esposizione fluida e semplice dei temi di fisica, che inizia sempre da osservazioni, spesso tratte dall’esperienza quotidiana, e che si arricchisce di particolari, con i concetti che emergono su aspetti particolari e diventano sempre più generali. Un’altra caratteristica di questo testo è che la matematica è ridotta all’essenziale, senza però mancare di rigore o di generalità. Questo ne fa un testo ideale per quei corsi nei quali gli studenti non possiedono una solida conoscenza della matematica.

Ho rivisto il linguaggio utilizzato nella traduzione italiana, riformulando alcune parti del testo nella forma attiva, più snella e fluida di quella passiva, che nella lingua originale è al contrario molto usata, senza alterarne i contenuti. Ho invece posto particolare attenzione a modificare gli esempi che facevano riferimento a situazioni pericolose, eredità di un passato nel quale non si prestava la dovuta attenzione alla sicurezza, nonché a mantenere un equilibrio di genere.

Per esempio, in un caso ho trasformato un esercizio svolto nel quale un alpinista doveva saltare un crepaccio (azione assolutamente da evitare) in un esercizio nel quale un atleta di parkour doveva saltare tra due terrazze. Si tratta sempre di una situazione pericolosa, ma quanto meno è regolamentata e di certo non si esegue il movimento se i terrazzi non sono a distanza ragionevole. In un altro caso non ho potuto fare a meno di mantenere l’esempio (una sua sostituzione con un altro avrebbe comportato nuove illustrazioni, non contemplate dall’editore), ma ho aggiunto una postilla. Si tratta degli esempi in cui un ferroviere sale la scaletta esterna di un vagone ferroviario mentre questo è in moto. Nel testo ho spiegato che una situazione del genere era molto comune qualche tempo fa, quando non si prestava attenzione alla sicurezza, e che nel testo (che ha una storia di oltre 20 anni) l’esempio è rimasto per inerzia.

L’età del testo si manifesta anche in una scarsa attenzione alle questioni di genere. Gli astronauti, per esempio, sono sempre maschi (anche se Valentina Tereskova ha viaggiato ha bordo della Vostok nel lontano 1963). Ho dunque ritenuto giusto chiamare Stefania l’astronauta dell’esempio nel capitolo della relatività, che parte lasciando a Terra il povero Francesco. Ho anche fatto sostituire un’immagine in cui una donna si manteneva in equilibrio precario su un piede mentre puliva i vetri. L’ho sostituita con un’immagine in cui una donna in tailleur, evidentemente una manager, si sistema una scarpa (non sono riuscito a trovare di meglio sui siti di immagini professionali cui avevo accesso: segno che la strada per la parità è ancora lunga).

La principale novità introdotta in questa edizione è l’inclusione di videolezioni, presenti sulla piattaforma online, in cui si mostra come eseguire esperimenti usando strumenti come gli smartphone o le schede Arduino. Gli esperimenti sono illustrati in tutte le loro fasi: dalla realizzazione degli apparati sperimentali, che impiegano solo materiali facilmente reperibili, alla presa dati, fino alla loro analisi. Ogni esperimento non è pensato, come tradizionalmente avviene, come una “dimostrazione” sperimentale della validità delle leggi fisiche, ma piuttosto come l’elemento a partire dal quale si possono formulare tali leggi, restituendo loro il ruolo che hanno nel processo scientifico.

Nel manuale sono presenti due pagine di riferimento nei capitoli interessati, mentre i filmati sono accessibili dal sito che accompagna il volume My Pearson Place.

Infine (e non è una novità di poco conto) ho convinto l’editore a reintrodurre nel testo cartaceo le pagine con gli esercizi, che erano state rimosse dalle passate edizioni per trovarsi solo online. L’abbondante varietà di esercizi presenti faceva del Walker un testo molto interessante, ma lo spostamento online aveva convinto molti colleghi ad adottare libri di autori ed editori diversi.

Fisica con Arduino a Parigi

Sto trascorrendo un periodo d’insegnamento all’Università di Paris-Sud, dove i miei colleghi Julien Bobroff e Frédéric Bouquet hanno introdotto, da qualche tempo, l’impiego delle schede Arduino nell’insegnamento universitario.

La sessione di Travaux Pratique che si sta concludendo vede un gruppo di studenti cimentarsi con la realizzazione di un esperimento da loro scelto, progettato e realizzato nel giro di cinque giorni, al termine dei quali devono presentarlo oralmente e sottoporre un lavoro scritto al giudizio della commissione.

Due gruppi hanno proposto di studiare la transizione superconduttiva di un superconduttore misurando la resistenza in funzione della temperatura del campione. Un gruppo ha studiato le proprietà magnetiche dei superconduttori pesando con una bilancia un magnete permanente esposto al campo di un superconduttore. Uno ha caratterizzato una sala da concerto in scala misurandone il riverbero e ottenendo informazioni circa la trasmissione del suono attraverso i materiali, utilizzando un sensore ultrasonico. Un gruppo ha studiato il moto di oscillatori accoppiati forzati usando magneti, utilizzando la Legge dell’induzione e.m. di Faraday per tracciarne la posizione. Uno spettrofotometro per la caratterizzazione della concentrazione dei coloranti in una sostanza è stato ottenuto spostando lungo lo spettro della luce bianca, ottenuto con un reticolo, un sensore di luce controllato da un motore. Un altro gruppo ha studiato le correnti di Foucault caratterizzando l’energia persa da un pendolo di Waltenhofen autocostruito la cui posizione era tracciata da un accelerometro. Infine, un sismografo è stato realizzato con un peso attaccato a una molla, il cui moto era smorzato dalle correnti parassite e la cui posizione era tracciata con due sonde di Hall: una vicino alla massa oscillante e l’altra all’estremità di un’asta connessa a quest’ultima. I terremoti erano simulati attraverso l’urto di pesi sul supporto, comandati da un motore.

Tutto usando Arduino per ottenere i dati e per controllare l’esperimento. I video di alcuni di questi potete vederli in questa pagina.

Oltre a seguire gli studenti fino all’esame finale, in queste settimane ho lavorato con i miei colleghi alla preparazione del primo workshop internazionale sulla didattica della fisica con Arduino e Smartphone, che terremo a febbraio, e abbiamo eseguito numerose misure per quello che abbiamo definito lo Smartphone Building Challenge: ci siamo posti l’obiettivo di misurare l’altezza di un palazzo usando uno smartphone. Ci sono moltissimi modi per farlo. Ne parlerò in un prossimo post.

Intanto, se volete imparare a fare le cose che vedete in questo post, iscrivetevi alla quarta edizione della scuola di fisica con Arduino e Smartphone di Sapienza. La scuola è destinata agli insegnanti e agli aspiranti tali, ma possono partecipare tutti i laureati, in qualsiasi materia. La conoscenza di Arduino o la capacità di programmare non sono prerequisiti.

Un nuovo kg

Venerdì 16 novembre è stata adottata una nuova definizione dell’unità di massa a livello internazionale: il kg.

Fino a ieri il kg era definito come la massa di un cilindro di una lega di platino e iridio conservata sotto tre campane di vetro presso il Bureau International des Poids e Measures a Parigi. Una definizione che creava qualche problema dal momento che il cilindro è, per quanto protetto, soggetto a usura e all’accumulo di polveri estranee.

Da ieri il kg è definito in termini di una costante universale: la costante di Planck. Si è deciso che la costante di Planck vale 6,626 070 15 ×10-34 kg m2 s-1. Essendo la costante definita in questo modo, come la velocità della luce non ha errore. Il kg dunque è la massa per la quale la costante di Planck assume il valore che le è stato dato.

Una volta definita l’unità di misura si deve però anche spiegare come si ottiene un campione di tale unità, la cosiddetta mise en pratique. Per il kg la mise en pratique consiste in un’accurata operazione di misura del peso (che non è la massa, ma è a essa legata attraverso la relazione secondo la quale il peso di un oggetto di massa m è dato dal valore di tale massa moltiplicata per l’accelerazione di gravità). Per eseguire questa misura di precisione si usa una bilancia di Kibble. La bilancia, idealmente, funziona nel modo seguente. Su un piatto si mette la massa da misurare. Per effetto del peso il piatto subisce una forza d’intensità mg. Sull’altro si trova, disposto in modo da giacere sul piano orizzontale, una bobina di filo conduttore di lunghezza ℓ che è posta in un campo magnetico radiale B. Se si fa circolare una corrente I nella bobina, questa subisce una forza diretta verticalmente di modulo BIℓ. Se la forza dovuta all’interazione tra campo magnetico e filo è verticale e con verso opposto a quella di gravità si ha che

mg = BIℓ

da cui si ricava m. In alternativa si può misurare la fem che si misura ai capi della stessa bobina quando questa si muove verticalmente con velocità v nello stesso campo magnetico B. In questo caso la Legge di Faraday-Neumann prevede che la fem sia uguale alla variazione di flusso del campo magnetico che attraversa la bobina. Idealizzando la bobina come una spira circolare, cadendo questa descrive un cilindro la cui superficie laterale è l’unica attraversata (perpendicolarmente) dal campo magnetico. Il flusso del campo è dunque

Φ = BS = Bℓh = Bℓvt

Di conseguenza la sua variazione nell’unità di tempo vale

V = ΔΦ/Δt = Bℓv

da cui si ricava che il prodotto Bℓ vale V/v, con V che è uguale alla tensione che si misura ai capi della bobina mentre si muove. Possiamo cosé eliminare il prodotto Bℓ alla prima relazione e ottenere

mgv = IV

Nella pratica la misura di I e di V è effettuata attraverso dispositivi quantistici (a effetto Josephson) che permettono misure molto accurate perché i valori di corrente e di tensione che si misurano sono quantizzati. Resta il problema di determinare con precisione g e v. Queste misure sono affidate a interferometri laser che misurano lo spostarsi delle frange d’interferenza prodotta dalla luce riflessa da uno specchio montato sulla bobina o su un dispositivo lasciato cadere per misurare con precisione l’accelerazione di gravità (gravitometro).

Pubblicato il bando per una nuova edizione della Scuola di Fisica con Arduino e Smartphone

È stato pubblicato all’indirizzo https://www.uniroma1.it/it/offerta-formativa/corso-di-alta-formazione/2019/fisica-con-arduino-e-smartphone il bando per la partecipazione alla III edizione della Scuola di Fisica con Arduino e Smartphone di Sapienza.

La scuola è un’attività full time intensiva di tre giorni destinata agli insegnanti di matematica e fisica o aspiranti tali. Non ci sono prerequisiti: non è necessario saper programmare o avere competenze di elettronica per partecipare. L’esperienza delle prime due edizioni ha dimostrato che un insegnante completamente digiuno di programmazione si può trasformare in un vero e proprio maker in soli tre giorni!

20170907_144943-collageIl primo giorno insegneremo a programmare una scheda Arduino e chiederemo agli insegnanti di pensare a un esperimento che vorrebbero realizzare nella loro classe. Il secondo giorno porteremo gli insegnanti ad acquistare il materiale necessario (il budget è volutamente ridotto a 20 euro ciascuno per consentire l’esecuzione di misure precise e accurate con una spesa minima) e li assisteremo nella realizzazione pratica della loro idea. Il terzo giorno l’esperimento sarà condotto e illustrato.

È un’esperienza coinvolgente ed estremamente utile per acquisire quelle che oggi si chiamano soft-skills e per rendere l’insegnamento della fisica appetibile anche agli studenti meno motivati.

La partecipazione alla scuola è pagabile con la carta docente per gli insegnanti in servizio. Altre informazioni alle pagine dedicate del PLS-Fisica di Sapienza.

Esperimenti radioattivi

Con il simulatore di Geiger presentato nell’ultimo post si possono solo fare dimostrazioni qualitative circa la maniera in cui si comporta un rivelatore di particelle quando si avvicina una sorgente radioattiva. Al più si può fare una serie di misure che permettono di stabilire la legge secondo la quale il numero di conteggi per unità di tempo diminuisce col quadrato della distanza, come nel filmato.

Una serie di misure più interessanti si può seguire con il programma riportato sotto.

#define _DEBUG

#define CLIK 8
#define ECHO 2
#define TRIG 3

#define TAU 2.2414 // the decay time in minutes
#define c 340.e-6  // the speed of sound

float tau = TAU*60.;
unsigned long t0;

void setup() {
  pinMode(CLIK, OUTPUT);
  pinMode(ECHO, INPUT);
  pinMode(TRIG, OUTPUT);
  digitalWrite(TRIG, LOW);
  digitalWrite(CLIK, LOW);
  t0 = millis();
#ifdef _DEBUG
  Serial.begin(9600);
  Serial.print("============ tau = ");
  Serial.print(tau);
  Serial.println(" s");
#endif
}

void trigger() {
  /* trigger the sensor */
  digitalWrite(TRIG, HIGH);
  delayMicroseconds(10);
  digitalWrite(TRIG, LOW);
}

float measure() {
  /* measure the distance between the sensor and the obstacle */
  float d = 0.;
  for (int i = 0; i < 15; i++) {
    trigger();
    unsigned long T = pulseIn(ECHO, HIGH);
    d += c*T/2.;
  }
  return d;
}

int status = HIGH; // the current status of the relay

void loop() {
  /* measure distance and time */
  float d = measure();
  float t = (millis() - t0)*1.e-3;
  /* compute the probability of a decay */
  float Pdecay = exp(-t/tau);
  float f = (float)random(1000)/1000.;
  /* if an atom decay... */
  if (f < Pdecay) {
    /* ...detect it with a probability that depens on d */
    unsigned long trigger = 10000./(d*d); 
    unsigned long r = random(10000);
    if (r < trigger) {
      digitalWrite(CLIK, status);
#ifdef _DEBUG
      Serial.println(t);
#endif
      if (status == HIGH) {
        status = LOW;
      } else {
        status = HIGH;
      }
    }
  }
}

Il programma è solo apparentemente complicato. La costante definita alla linea

#define TAU 2.2414

rappresenta il tempo di vita medio, espresso in minuti, di una ipotetica sostanza radioattiva (in questo caso dell’Alluminio 28: quello ottenuto da Enrico Fermi nei suoi esperimenti sulla radioattività artificiale).

Con questa versione dello sketch di Arduino i click si susseguono con una probabilità che diminuisce esponenzialmente con un tempo caratteristico TAU.

A questo punto simulare una misura è facile. Si avvicina, a un’opportuna distanza, la presunta sostanza radioattiva e si contano i click che si odono nell’unità di tempo. Per esempio, si possono contare i click ogni 20 o 30 secondi, avendo cura di porre la sorgente a una distanza tale da avere un numero statisticamente significativo di click in questo intervallo di tempo (all’inizio delle misure questo numero dovrebbe essere almeno attorno a 80-100). Dividendo il numero di click N per l’intervallo di tempo T si ottiene la frequenza dei conteggi N/T. Si ripete la misura a tempi successivi e si osserva che il rapporto N/T non è costante, ma diminuisce col tempo. Se si fa un grafico di N/T (o semplicemente di N) in funzione del tempo si ottiene la figura sotto riportata:

Fermi_Al

La figura include il “fit” ai dati sperimentali eseguito con un esponenziale. Per ottenere una prima stima del tempo di decadimento senza dover eseguire un complesso fit con un esponenziale si può riportare il logaritmo del numero di conteggi in funzione del tempo, il che darà al grafico l’aspetto di una retta, di cui basta misurare la pendenza. Oppure si può, per tempi relativamente piccoli, approssimare l’esponenziale con una retta

N·exp(-t/τ)≈N(1-t/τ).

Le misure fluttuano in maniera statistica, quindi si ha l’impressione di fare una vera misura e s’impara a gestire gli errori sistematici e statistici in modo corretto. Conoscendo il tempo di vita impostato si può confrontare il valore ottenuto con quello atteso per valutare la bontà delle misure eseguite.

 

Un simulatore di Geiger

Dovendo fare una conferenza divulgativa sugli esperimenti che hanno fruttato il Premio Nobel a Enrico Fermi, nell’ottantesimo della sua attribuzione, ho deciso che avrei dovuto ripetere alcuni dei suoi fondamentali esperimenti in aula, in modo da spiegare bene quali furono le misure e i risultati che condussero il grande scienziato ad annunciare la scoperta del metodo per rendere radioattivi i materiali.

Fare esperimenti con materiali radioattivi in aula, però, non è solo vietato. È quanto meno inopportuno. Allora ho deciso che mi sarei avvalso di una simulazione: ma non di una “classica” simulazione al computer, bensì di una simulazione “concreta”.

Avevo bisogno di far vedere cosa succede quando si avvicina una sorgente radioattiva a un contatore Geiger. Ho quindi costruito un finto contatore Geiger usando una scheda Arduino, un sensore ultrasonico e un relay.

IMG_20180514_093515.jpg

Il sensore ultrasonico richiede quattro collegamenti: due servono per alimentarlo (GND e 5V), uno per il cosiddetto trigger e l’altro per l’eco. Inviando un impulso rettangolare abbastanza lungo (10 μs) al pin di trigger, il sensore ultrasonico emette un treno d’impulsi ad alta frequenza e misura il tempo che intercorre tra l’invio e la successiva rivelazione dello stesso treno d’impulsi. La rivelazione avviene quando gli impulsi sono riflessi da un ostacolo. Questo tempo è tanto più lungo quanto maggiore è la distanza tra il sensore e l’ostacolo.

Il relay è stato invece collegato a un terzo pin (oltre ai due necessari per l’alimentazione).

Tutto il sistema è stato alloggiato dentro un tubo di cartone (di quelli attorno ai quali è avvolta la carta da cucina) in modo tale che l’altoparlante e il microfono del sensore ultrasonico sporgessero lungo la superficie laterale a un estremo del tubo.

Il finto Geiger misura continuamente la distanza alla quale si trova un eventuale ostacolo e definisce una variabile trigger che dipende dalla distanza misurata al quadrato:

 unsigned long trigger = 1000./(d*d);

Quindi genera un numero random compreso tra 0 e 1000:

 unsigned long r = random(1000);

Se questo numero è minore di trigger fa cambiare stato del relay da chiuso ad aperto o viceversa:

if (r < trigger) {
  digitalWrite(CLIK, status);
  if (status == HIGH) {
    status = LOW;
  } else {
    status = HIGH;
  }
}

Il relay, cambiando stato, produce un rumorino che imita il click di un vero Geiger. Con questo codice la probabilità di far scattare il relay aumenta al diminuire della distanza di un ostacolo come 1/r2. Se l’ostacolo è molto lontano la probabilità di un click tende a zero. Avvicinando qualsiasi oggetto (radioattivo o meno) il numero di click per unità di tempo aumenta sempre di più esattamente come ci si aspetta nel caso reale. Per simulare ciò che avviene quando si avvicina una sostanza non radioattiva è sufficiente manipolare il campione in modo tale da avvicinarlo al Geiger senza metterlo di fronte al sensore ultrasonico.

 

Le scuole di Fisica con Arduino e Smartphone crescono

Le Scuole di Fisica con Arduino e Smartphone cui ho dato vita dal 2016 continuano a riscuotere un discreto successo. Alcuni insegnanti hanno già iniziato a lavorare con Arduino nelle loro classi e presumibilmente avremo materiale da presentare al prossimo Congresso della Società Italiana di Fisica.

Recentemente è stato pubblicato un mio post su Math is in the Air: un blog di divulgazione della matematica. Alcuni insegnanti hanno cominciato a fare sperimentazione in classe con Arduino e a Marzo parteciperò a un Workshop internazionale a Parigi per illustrare le nostre esperienze a un panel di esperti provenienti da vari Paesi europei.

Abbiamo anche ricevuto un invito per presentare le Scuole al Summer Meeting dell’American Association of Physics Teachers, dove condurremo anche un workshop sull’uso di Arduino per esperimenti scientifici.

 

La meccanica quantistica è incomprensibile?

Qualche giorno fa è uscito questo articolo su Repubblica.it. Si parlava di un libro scolastico che un’utente (con l’apostrofo perché si tratta di una donna) di Twitter (@roccaverrastro) segnalava per la presenza di una corbelleria relativamente alla forza di gravità. Nel libro incriminato, la cui foto compare nello stream dell’utente che l’ha segnalato, si dice testualmente: “[la diminuzione della forza di gravità con la distanza] è ben evidente osservando gli astronauti in orbita sulla Stazione Spaziale Internazionale, dove l’intensità della forza di gravità è ridotta al punto che persone e oggetti devono essere ancorati a dei sostegni per non volare nell’abitacolo“.

Bene hanno fatto coloro che si sono prodigati nello spiegare che le cose non stanno affatto così (inclusa Samantha Cristoforetti, meglio nota come @AstroSamantha) e quindi non starò qui a spiegare per l’ennesima volta che il motivo per cui gli astronauti fluttuano senza peso non è affatto che alla quota della ISS la gravità non c’è (come farebbe se no a orbitare?), ma perché di fatto la ISS è in perenne caduta libera.

Userò invece questo episodio come pretesto per discutere un paio di argomenti che m’interessano molto di più: l’autorevolezza dei libri (in generale, non solo di quelli di testo) e il convincimento che la meccanica quantistica sia del tutto contro-intuitiva.

Sull’autorevolezza dei libri

La critica più frequente ai contenuti che si trovano sulle pagine del World Wide Web o WWW (non di Internet, che è l’infrastruttura sulla quale il WWW funziona) è la loro presunta inattendibilità o inaffidabilità. Poiché chiunque è libero di scrivere quel che vuole sul Web, la maggior parte dei suoi contenuti sarebbe del tutto inaffidabile e comunque, anche qualora il contenuto di una pagina (come quelle di Wikipedia, ad esempio) fosse corretto, sarebbe unicamente il frutto di un copia-incolla e non di una conoscenza profonda e certificata dell’argomento.

Forse che non è la stessa cosa per i libri? Di libri inattendibili ce ne sono a bizzeffe (basta pensare a tutte le sciocchezze pubblicate sull’esoterismo, sugli alieni e su numerosi altri fenomeni “misteriosi”). Pubblicati da case editrici talvolta serissime. Anche gli autori più affermati, in fondo, fanno del copia-incolla. Non è che io, che scrivo di fisica, ho costruito da solo tutta la conoscenza che rendo pubblica! L’ho imparata sui libri scritti dai miei predecessori. Perciò, quando scrivo di fisica, almeno in parte, non faccio altro che riscrivere ciò che chi mi ha preceduto ha scritto.

Gli editori non controllano affatto la correttezza di quanto si scrive su un libro. Chissà perché la maggior parte delle persone pensa questo. Agli editori importa solo che il libro sia privo di errori tipografici e che sia di relativamente facile lettura. Per questa ragione ingaggiano copy-editor e grafici. Non assumono referee per i contenuti. Per quelli, al massimo, si affidano alla reputazione dell’autore. Il quale può anche essere un premio Nobel, ma non per questo è infallibile. Di scemenze ne dice chiunque (anche il sottoscritto). Dunque non mi stupisce che su un libro di scienze si possano trovare affermazioni non corrette. L’importante è che l’autore le faccia correggere una volta segnalate.

Non si tratta di un caso così infrequente. Un caso molto diffuso è quello secondo il quale gli aerei volano grazie alla portanza generata dal profilo alare che costringerebbe l’aria che passa sopra l’ala a viaggiare più rapidamente di quella che passa al di sotto, provocando così una differenza di pressione che sostiene il velivolo. Quest’affermazione, molto diffusa anche su testi di livello universitario, appare meno sconvolgente di quella sulla gravità del libro incriminato, solo perché l’argomento è molto meno noto. Ma è un’affermazione del tutto sbagliata! Non c’è nessun motivo per cui l’aria che viaggia sopra un’ala dovrebbe sentirsi autorizzata a correre di più rispetto a quella che viaggia sotto!

Sull’innaturalezza della meccanica quantistica

I miei colleghi che insegnano nelle scuole superiori lamentano che sarebbe molto difficile insegnare la fisica moderna ai loro studenti perché i fenomeni previsti da quest’ultima sono del tutto estranei al senso comune. Forse che la fisica classica è intuitiva?

Il testo segnalato in apertura di questo post dimostra che non è affatto così. La gente vede gli astronauti fluttuare senza peso nello spazio. Cosa deve pensare, se non che in quel punto non esista la forza di gravità? Sembrerebbe una spiegazione del tutto naturale. O no?

Il primo e il secondo principio della dinamica ci dicono che un corpo non soggetto a forze si muove di moto rettilineo uniforme. Ma chi l’ha mai visto? Tutti noi abbiamo evidenza del contrario! Un corpo si muove (di moto rettilineo uniforme o di qualunque altro tipo) solo se applichiamo una forza su di esso! Non s’è mai visto un oggetto muoversi a prescindere dall’applicazione di una qualche sollecitazione. Del resto non è un caso che per soppiantare la teoria dell’impetus ci siano voluti quasi due millenni.

E le forze fittizie? Ne vogliamo parlare? Tutte le forze che i fisici dicono che “non esistono” sono forse le uniche delle quali abbiamo esperienza diretta: sono quelle forze che si provano affrontando una curva stando nell’abitacolo di un’auto o sull’autobus quando frena o parte bruscamente; o ancora sulla giostra dei “calcinculo” e che ci permette di sollevarci rispetto alla posizione assunta quando la forza è ferma. Non esistono? Come sarebbe che non esistono?

Il lavoro compiuto da un facchino che spinga una cassa lungo un piano inclinato o che la sollevi alla stessa quota verticalmente è lo stesso. In più, il lavoro fatto dal facchino per tenere la cassa in braccio, ferma, è nullo. Ma davvero?

Ogni insegnante di fisica sa che le gambe (di metallo) e la seduta (di legno) delle sedie occupate dai suoi studenti sono (evidentemente) alla stessa temperatura. Però toccando con le mani la seduta e le gambe si prova una sensazione di caldo nel primo caso e di freddo nel secondo. Come la mettiamo?

Come si vede chiaramente, non è affatto vero che la fisica classica sia più facile di quella moderna perché più intuitiva. Al contrario: la mia opinione è che la fisica classica sia molto meno intuitiva di quella quantistica. Il fatto è che ancora non ci siamo liberati dal fardello di Newton, benché siano ormai trascorsi un centinaio d’anni dalla nascita della fisica quantistica. Del resto, se ancora non ci siamo liberati dal fardello di Aristotele per quel che riguarda la fisica classica come si può pretendere che in un tempo così breve ci si convinca che le cose non stanno esattamente come pensava Newton?

Ma, per favore, non dite che più che la meccanica quantistica non si capisce!