Esperimenti radioattivi

Con il simulatore di Geiger presentato nell’ultimo post si possono solo fare dimostrazioni qualitative circa la maniera in cui si comporta un rivelatore di particelle quando si avvicina una sorgente radioattiva. Al più si può fare una serie di misure che permettono di stabilire la legge secondo la quale il numero di conteggi per unità di tempo diminuisce col quadrato della distanza, come nel filmato.

Una serie di misure più interessanti si può seguire con il programma riportato sotto.

#define _DEBUG

#define CLIK 8
#define ECHO 2
#define TRIG 3

#define TAU 2.2414 // the decay time in minutes
#define c 340.e-6  // the speed of sound

float tau = TAU*60.;
unsigned long t0;

void setup() {
  pinMode(CLIK, OUTPUT);
  pinMode(ECHO, INPUT);
  pinMode(TRIG, OUTPUT);
  digitalWrite(TRIG, LOW);
  digitalWrite(CLIK, LOW);
  t0 = millis();
#ifdef _DEBUG
  Serial.begin(9600);
  Serial.print("============ tau = ");
  Serial.print(tau);
  Serial.println(" s");
#endif
}

void trigger() {
  /* trigger the sensor */
  digitalWrite(TRIG, HIGH);
  delayMicroseconds(10);
  digitalWrite(TRIG, LOW);
}

float measure() {
  /* measure the distance between the sensor and the obstacle */
  float d = 0.;
  for (int i = 0; i < 15; i++) {
    trigger();
    unsigned long T = pulseIn(ECHO, HIGH);
    d += c*T/2.;
  }
  return d;
}

int status = HIGH; // the current status of the relay

void loop() {
  /* measure distance and time */
  float d = measure();
  float t = (millis() - t0)*1.e-3;
  /* compute the probability of a decay */
  float Pdecay = exp(-t/tau);
  float f = (float)random(1000)/1000.;
  /* if an atom decay... */
  if (f < Pdecay) {
    /* ...detect it with a probability that depens on d */
    unsigned long trigger = 10000./(d*d); 
    unsigned long r = random(10000);
    if (r < trigger) {
      digitalWrite(CLIK, status);
#ifdef _DEBUG
      Serial.println(t);
#endif
      if (status == HIGH) {
        status = LOW;
      } else {
        status = HIGH;
      }
    }
  }
}

Il programma è solo apparentemente complicato. La costante definita alla linea

#define TAU 2.2414

rappresenta il tempo di vita medio, espresso in minuti, di una ipotetica sostanza radioattiva (in questo caso dell’Alluminio 28: quello ottenuto da Enrico Fermi nei suoi esperimenti sulla radioattività artificiale).

Con questa versione dello sketch di Arduino i click si susseguono con una probabilità che diminuisce esponenzialmente con un tempo caratteristico TAU.

A questo punto simulare una misura è facile. Si avvicina, a un’opportuna distanza, la presunta sostanza radioattiva e si contano i click che si odono nell’unità di tempo. Per esempio, si possono contare i click ogni 20 o 30 secondi, avendo cura di porre la sorgente a una distanza tale da avere un numero statisticamente significativo di click in questo intervallo di tempo (all’inizio delle misure questo numero dovrebbe essere almeno attorno a 80-100). Dividendo il numero di click N per l’intervallo di tempo T si ottiene la frequenza dei conteggi N/T. Si ripete la misura a tempi successivi e si osserva che il rapporto N/T non è costante, ma diminuisce col tempo. Se si fa un grafico di N/T (o semplicemente di N) in funzione del tempo si ottiene la figura sotto riportata:

Fermi_Al

La figura include il “fit” ai dati sperimentali eseguito con un esponenziale. Per ottenere una prima stima del tempo di decadimento senza dover eseguire un complesso fit con un esponenziale si può riportare il logaritmo del numero di conteggi in funzione del tempo, il che darà al grafico l’aspetto di una retta, di cui basta misurare la pendenza. Oppure si può, per tempi relativamente piccoli, approssimare l’esponenziale con una retta

N·exp(-t/τ)≈N(1-t/τ).

Le misure fluttuano in maniera statistica, quindi si ha l’impressione di fare una vera misura e s’impara a gestire gli errori sistematici e statistici in modo corretto. Conoscendo il tempo di vita impostato si può confrontare il valore ottenuto con quello atteso per valutare la bontà delle misure eseguite.

 

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Le scuole di Fisica con Arduino e Smartphone crescono

Le Scuole di Fisica con Arduino e Smartphone cui ho dato vita dal 2016 continuano a riscuotere un discreto successo. Alcuni insegnanti hanno già iniziato a lavorare con Arduino nelle loro classi e presumibilmente avremo materiale da presentare al prossimo Congresso della Società Italiana di Fisica.

Recentemente è stato pubblicato un mio post su Math is in the Air: un blog di divulgazione della matematica. Alcuni insegnanti hanno cominciato a fare sperimentazione in classe con Arduino e a Marzo parteciperò a un Workshop internazionale a Parigi per illustrare le nostre esperienze a un panel di esperti provenienti da vari Paesi europei.

Abbiamo anche ricevuto un invito per presentare le Scuole al Summer Meeting dell’American Association of Physics Teachers, dove condurremo anche un workshop sull’uso di Arduino per esperimenti scientifici.

 

La stima di π

Il problema della cosiddetta quadratura del cerchio è molto antico. Consiste nella determinazione dell’area di un cerchio di raggio 1 (l’area del cerchio di raggio qualsiasi essendo semplicemente quella del cerchio di raggio 1 moltiplicata per il raggio al quadrato). Un modo per definire questa misura è il seguente: prendiamo un cerchio di raggio 1 e inscriviamolo in un quadrato, che evidentemente deve avere lato pari a 2 (e dunque area pari a 4). Se chiamiamo π l’area di questo cerchio, il rapporto tra quest’area e quella del quadrato è π/4.

Il 14 marzo è il cosiddetto Pi Day: il giorno del pi greco (in inglese la data del 14 marzo si scrive 3/14). Questo post è dunque un suggerimento per attività didattiche da portare avanti in quella giornata.

Se si distribuiscono N punti in maniera uniforme all’interno del quadrato, una frazione di essi cadrà all’interno del cerchio ed è evidente che il numero di punti che cade all’interno del cerchio diviso il numero di punti N sarà in media uguale al rapporto delle aree di queste figure. Chiamando Nint il numero di punti interni al cerchio possiamo perciò dire che

Nint/N ≃ π/4,

e, di conseguenza, possiamo stimare π semplicemente contando il numero Nint che cade all’interno del cerchio:

π ≃ 4Nint/N.

La statistica c’insegna che la precisione con cui potremo determinare il valore di π sarà tanto migliore quanto maggiore sarà il numero di punti Nint, che a sua volta dipende da N.

Con il linguaggio di programmazione Scratch anche i bambini possono scrivere un semplice algoritmo per stimare il valore di π.

All’indirizzo https://scratch.mit.edu/projects/149703806/ si può vedere in funzione il programma piCat che fa proprio questo. Il gattino di Scratch chiede quanti punti N si devono generare e comincia a mettere un pallino in punti a caso scelti all’interno del quadrato. Quando il pallino si trova nel cerchio (e questo lo si determina controllando il colore col quale il pallino è in contatto) cambia colore e incrementa il valore di un contatore Ninside. La stima di π è costantemente aggiornata. Con N=2000 si trovano valori molto prossimi a quello vero, pari a 3.1415926535897932384626433832795028841971693… (alla pagina http://www.piday.org/million/ trovate il valore di π con un milione di cifre dopo la virgola).

La Fisica non è un’opinione

“La Fisica non è un’opinione” è il titolo di un incontro-scontro con insegnanti (per lo più laureati in matematica) sul rapporto tra la matematica e la fisica. L’incontro si è tenuto il 10 febbraio 2017 presso il Dipartimento di Matematica di Sapienza, nell’ambito delle iniziative del Piano Lauree Scientifiche.

Il mio esordio è stato abbastanza divertente, avendo confessato che il vero titolo che avrei voluto dare all’incontro non era quello di questo post, ma “La Matematica è un’opinione”. Poi ho pensato che sarebbe stato troppo provocatorio e così ho ripiegato su un titolo meno soggetto a fraintendimenti.

Analizzando il contenuto dei libri di fisica per le scuole e per l’Università si trovano un certo numero di affermazioni discutibili, cui di norma nessuno presta attenzione e che si tramandano così dai tempi di Galileo Galilei, senza che alcuno senta la necessità di riflettere su di esse.

La prima riguarda l’oggetto della Fisica che, secondo i libri che ho consultato, riguarderebbe lo studio dei fenomeni naturali. Basta dare un’occhiata alle pubblicazioni dei fisici per capire che della fisica non fanno parte fenomeni naturali come l’amore, mentre sono oggetto d’indagine fenomeni come le oscillazioni dei valori delle azioni in borsa che certo naturali non sono. La verità è che la fisica riguarda tutti i fenomeni misurabili, per i quali, cioè, esiste uno strumento e una procedura che permette di associare un valore (non necessariamente numerico) a quella che i fisici chiamano grandezza fisica.

Per descrivere i rapporti e l’evoluzione temporale di questi valori i fisici usano la matematica, semplicemente perché la matematica è un linguaggio e come tutti i linguaggi possiede una sufficiente arbitrarietà per descrivere qualsiasi cosa.

In questa accezione la Matematica è un’opinione nel senso che un matematico ha la totale libertà di inventare i postulati a partire dai quali costruisce, secondo un metodo che non ha più niente di arbitrario, una matematica. Non è un mistero per nessuno che esistono più Matematiche alternative: esistono Matematiche in cui le parallele non s’intersecano e quelle in cui lo fanno, Matematiche in cui 2+2 fa 4 e altre in cui fa un numero qualunque compreso tra 0 e 4, e così via.

A differenza di un matematico, un fisico non può stabilire principi a priori sui quali basare la sua scienza. Il fisico è costretto ad accettare come verità (e quindi come postulati delle sue teorie) i fatti sperimentali, almeno fino a quando non si verificheranno fatti che facciano ritenere tali postulati non più validi in certe condizioni. Non si costruiscono teorie prive di fatti sperimentali a loro supporto.

In questo senso la Fisica non è un’opinione. I fatti sono fatti e le loro interpretazioni devono essere coerenti con essi. Che ci piaccia o no. Se si accetta questo principio la fisica moderna (quella della relatività e dei fenomeni quantistici) non appare più così ripugnante. Lo è solo per coloro che immodestamente pretendono di dettare Legge su come l’Universo debba comportarsi.

Al fine di far comprendere agli studenti che è la fisica a non essere un’opinione e non la matematica, sarebbe dunque giusto introdurre la matematica, nei corsi di fisica, non in maniera assiomatica, come si fa spesso, ma giustificando le scelte di volta in volta con opportuni argomenti. E far loro apprezzare la bellezza della matematica nella quale c’è molto più spazio per la creatività e la fantasia. La matematica è un’arte, né piú, né meno della pittura, della musica, della letteratura, etc..

Nel corso dell’incontro ho fatto solo alcuni esempi di come si potrebbe insegnare l’uso degli strumenti matematici nella fisica in modo alternativo: dall’algebra vettoriale alla definizione di forza, di lavoro e di stato, passando per la definizione di derivata e l’uso delle funzioni di variabile continua. Presto lavorerò a una pubblicazione su questi argomenti.

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